Inductance électronique : simulation à transistor

Un montage à transistor et condensateur très simple permet de simuler une inductance de très grande valeur dans le cas où une polarisation continue est appliquée au montage. Cette curiosité astucieuse est présentée ici.

Pour simuler des inductances très élevées, on peut utiliser un montage très simple à transistor bipolaire. Il ne s'agit pas d'un montage gyrateur à ampli op. Les valeurs d'inductances simulées peuvent atteindre facilement le Henry.

Schéma de l’inductance électronique simple à transistor

Ce montage ne fonctionne correctement que si le transistor est polarisé correctement, c’est-à-dire que la tension d’entrée Ve doit posséder une composante continue positive. Le transistor fonctionne alors en régime linéaire. Cela est idéal pour la séparation d’une composante continue (qui peut servir d’alimentation) et d’une composante alternative (signaux, données). RL, la charge à la sortie, est nécessaire pour les calculs.

Calcul de l'inductance simulée

Lors d’un échelon de tension de Ve, Vs présente une réponse de type premier ordre passe bas. On calcule donc L en identifiant les constantes de temps des deux montages.

Détermination de l'inductance

L’additivité des tensions pour l'inductance électronique s’écrit :

Ve : tension d'entrée

UR : tension aux bornes de R

Uc : tension aux bornes de C

Vs : tension de sortie

Les courants d’émetteur (traversant RL) et collecteur sont supposés égaux (Ib << Ic). Pour simplifier, on suppose que la tension base-émetteur (Vbe) est constante (donc sa dérivée est nulle). La tension aux bornes de C est aussi égale à la tension Vbe en série avec la tension aux bornes de RE. La dérivée de Uc est aussi donnée :

Par ailleurs, Ib = Ic / β (β : gain du transistor, allant typiquement de 100 à 400). En remplaçant dans l’expression de Ve, il vient (factorisation dans les 2ème et 3ème ligne) :

On fait apparaître la forme standard de cette équation différentielle en Ic :

Equation différentielle de l'inductance électronique

On identifie la constante de temps τ ("tau") de l'inductance électronique :

On obtient ainsi l’expression de L, l'inductance électronique :

RE et R/β doivent être très inférieures à RL pour minimiser la chute de tension dans l’inductance électronique. Dans ce cas qui est souhaitable, l'inductance électronique prend la valeur approchée :

Valeur de l'inductance électronique

Remarques

• On constante la concordance des unités dans la formule approchée ci dessus (programme Terminale S).
• On peut souvent négliger la résistance de sortie du transistor (=1/gm) devant RE. 1/gm = Ut / Ic, où Ut = kT/q = 26 mV à 25°C. Le terme gm dépend du courant dans l’inductance électronique.
• La résistance RE peut être mise à profit pour une limitation de courant à base de transistor. Le courant de limitation est alors défini par Imax = Vbe / RE. Il faut ajouter un second transistor pour réaliser cette fonction.

L'article suivant présente l'inductance électronique sous l'aspect temporel et montre quelques résultats de simulation : Inductance électronique : simulation à transistor (2)