Le théorème de Millman

Le théorème de Millman

On comprend le théorème de Millman quand on mélange plusieurs couleurs. Il est aussi possible de mélanger plusieurs tensions électriques ou signaux électriques. Qu'obtient-on en mélangeant plusieurs couleurs ? Un mélange de couleurs, c'est-à-dire une moyenne qui dépend de la quantité de chaque couleur de base. C'est exactement la même chose lorsqu'on relie plusieurs tensions électriques entre elles à travers des résistances ou des impédances.

Théorème de Millman, un cas particulier de la loi des noeuds

Le théorème de Millmann est un cas particulier de la loi des noeuds exprimée en potentiels (Volts). Le potentiel du noeud est une moyenne pondérée de chaque potentiel qui arrive vers le noeud à travers son impédance respective.

Exemples pour comprendre le théorème de Millman comme une moyenne

Avant de voir l'expression du théorème de Millman, on peut prendre quelques exemples simples. Le cas le plus simple est une moyenne de deux potentiels dont on crée la moyenne à travers deux résistances de même valeur. En comparant à un mélange de deux couleurs (ici jaune et rouge qui font du orange) :

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Théorème de Millman avec deux potentiels V1 et V2

Ici, VN est le potentiel du noeud et vaut simplement la moyenne de V1 et V2. Si V1 vaut 20V et V2 vaut 10V, VN sera égal à 15V, qu'on obtient en faisant la moyenne : (20V+10V)/2 = 15V.

Tous ces potentiels sont définis à partir d'une référence commune : la masse qui est, par définition, à 0V.

On peut représenter ce premier exemple avec ce schéma électrique où on voit les générateurs de tension :


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Théorème de Millman avec deux générateurs V1 et V2

La même moyenne s'obtient avec plusieurs générateurs de tension associés à leur résistance R (toutes égales) :

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Théorème de Millman avec 4 générateurs V1, V2, V3 et V4

Le potentiel du noeud est la moyenne des quatre tensions. C'est le principe même des mélangeurs de son (table de mixage). Ce principe permet même de réaliser une table de mixage passive sans aucun autre composant que des résistances et des connecteurs RCA ou jack.

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Le théorème de Millman permet de faire la moyenne (qui est proportionnelle à la somme) de plusieurs signaux électriques dans les tables de mixage.

Théorème de Millman, la "formule"

De façon plus générale, que se passe-t-il si toutes les résistances n'ont pas les mêmes valeurs ? Concrètement, plus une résistance est faible, plus l'influence du générateur de tension sera importante. Il contribue alors beaucoup au potentiel du noeud, alors qu'un générateur de tension relié par une forte résistance influencera peu.

Le théorème de Millman se formule comme ci dessous, avec N générateurs :

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Théorème de Millman : l'expression tant attendue

VN : potentiel du noeud
Vk : potentiel du générateur k (k entre 1 et N)
Yk : admittance associé au générateur k

L'admittance Y est l'inverse de l'impédance Z. Si l'impédance Z est une simple résistance R, l'admittance est alors égale à la conductance G (G=1/R) :

Si il n'y a que des résistances dans le circuit, le théorème de Millman se réécrit avec les résistances R ou les conductances G :

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Théorème de Millman avec résistances

On peut retenir (pour les personnes auditives) :

"Vn égal somme des Vk.Gk sur somme des Gk"

Exemple de calcul avec le théorème de Millman

Prenons un exemple avec 3 générateurs de tension V1, V2 et V3 :

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Exercice sur le théorème de Millman

Calculons la somme des Gk. Ici, k va de 1 à 3

somme des Gk = 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 = 1/10 + 1/5 + 1/20 = 0.1+0.2+0.05 = 0.35S (Siemens)

VN = (V1/R1 + V2/R2 + V3/R3) / (1/R1 + 1/R2 + 1/R3)
VN = (4/10 + 10/5 - 6/20) / 0.35
VN = (0.4 + 2 - 0.3) / 0.35
VN = 6V

Une ou plusieurs résistances peuvent être reliées à la masse directement, sans générateur de tension. Dans ce cas, faire le calcul avec une tension égale à 0V.

Conclusion

Jacob Millman, à travers son théorème, décrit comment le potentiel d'un noeud N n'est rien d'autre qu'une moyenne pondérée des différentes tensions reliées à ce noeud.


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  Le théorème de Millman, publié par nina67 le 19 Mars 2015
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Nina67
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